Размерный анализ и подобие нестационарного тепломассопереноса в воздухе при умеренной неизотермичности (в приложении для условий работы воздушных завес)

В данной статье рассматривается общий случай гидродинамического подобия нестационарного тепломассопереноса в сплошных несжимаемых средах. Полученные в статье соотношения, в частности, применимы для изучения закономерностей неизотермического движения воздуха со скоростями, малыми по сравнению со скоростью звука. Эти соотношения определяют условия гидродинамического подобия для любых несжимаемых движений воздуха с умеренной неизотермичностью. Главным образом, автор стремился определить эти условия для случаев работы воздушных тепловых завес. Однако теория полностью применима ко всем схожим в физическом смысле областям. Таким как, например, локальный обогрев больших помещений, применение вентиляторов дымоудаления, вентиляция и кондиционирование помещений, а также все другие задачи, в которых теплопередача главным образом обусловлена инерционными силами движения воздуха, градиентами давлений и конвективным теплопереносом.

Постановка задачи

Алексей Пухов, технический директор компании «Тропик»
Алексей Пухов, технический
директор компании «Тропик»

За последнее десятилетие в мире было опубликовано большое количество работ, в которых рассмотрены конкретные примеры применения воздушных завес, выполненные на основе расчетных программ или экспериментальных данных [1, 2, 3, 4, 5]. Со времени появления первых надежных результатов программного расчета эти методы продемонстрировали согласованность между собой, а также с классическими теоретическими приближениями [6, 7]. Однако создание экспериментальных установок сопровождается большими финансовыми, временными и интеллектуальными вложениями. При проведении численных исследований, касающихся использования воздушных завес, достаточно трудоемкой задачей является подготовка сетки расчетов. Поэтому обычно в работах рассматривается лишь один или два набора размеров в системе проем-завеса. Следовательно, возникает вопрос точного соответствия результатов, которые могут быть получены для конкретного проема и завесы, другим размерам, температурам, скоростям. В практическом приложении этот вопрос может быть сформулирован следующим образом: пусть для задач использования воздушных завес имеется некоторая расчетная геометрия или реальная измерительная установка некоторых размеров, как нужно преобразовать величины ветровой нагрузки, температур, перепада давлений на проеме, а также величины скоростей на выходе из сопла и мощностей дополнительного нагрева, чтобы в точности получить значения всех интересующих переменных для геометрически подобной задачи?

Предлагаемая статья рассматривает вопрос о расширении частных решений для некоторых проемов и завес на другие пространственные размеры систем с общих позиций подобия физических систем (π-теорема Букингема [8]). Отметим, что математик Жозеф Бертран [9] представил количественные соотношения строгого описания физических систем с позиций размерного анализа в 1878 году, то есть задолго до формулирования Букингемом π-теоремы. Любой физический процесс происходит независимо от выбора масштабов единиц измерений. Соответственно, любую задачу из систем размерности можно перевести в систему описания с помощью безразмерных комплексов, они уже будут полностью независимы от выбора масштабов единиц измерений, поскольку эти масштабы будут сокращаться при делении для образования безразмерных величин. Пусть имеется некоторая реальная физическая задача гидродинамики и ее геометрически подобная модель иных пространственных размеров. Если все из значимых безразмерных комплексов (изменение значений которых определенно повлияло бы на изменение поведения системы) для сплошной среды в каждой точке системы имеют те же значения, что и комплексы в каждой геометрически подобной точке модели, то можно говорить о гидродинамическом подобии двух систем. То есть, при совпадении безразмерной формы записи граничных и начальных условий задачи, все уравнения и их решения, записанные в безразмерном виде для системы и ее модели, будут полностью совпадать. В этом случае знания о поведении усредненных скоростей, температур, давлений, энергий диссипации и прочих параметров в любых точках модели в некоторые моменты времени позволят точно предсказать измерения в соответствующих точках подобной системы. Существенным для подобия является учет лишь значимых комплексов. Если учитывать все возможные безразмерные комбинации величин, то точное подобие вообще было бы невозможным, хотя бы по причине молекулярного строения вещества.

При подборе условий подобия надо стремиться к тому, чтобы максимальное количество критериев имело эквивалентные значения в каждой точке системы и соответствующей точке модели. Все критерии можно условно разделить на три группы. Основная группа — это критерии полной эквивалентности, поскольку их возможное несовпадение может привести к существенным различиям в поведении системы и модели. Другая группа — несущественные критерии, влияние которых на процесс крайне ограничено даже при их многократном изменении (например, нет смысла рассматривать числа Маха в серийной автопромышленности). Третья группа включает критерии, которые оказывают существенное влияние на процесс, но по некоторым причинам добиться их полной эквивалентности в системе и ее модели невозможно. Если один или несколько критериев модели и системы различаются, то можно говорить о частичном гидродинамическом подобии. Существуют две возможности обращения с критериями третьей группы: можно или полностью пренебречь их влиянием, особенно при их незначительных изменениях, или учитывать эти изменения, основываясь на эмпирических или общих закономерностях (которые часто приводят к степенным зависимостям). Однако в окрестностях некоторых значений критериев, даже незначительные их изменения приводят к полному изменению характера течения. Эти критические значения критериев будут обсуждаться отдельно.

Существует два основных способа подбора всех существенных безразмерных характеристик процесса. Первый заключается в том, чтобы выписать все n существенных переменных процесса и согласно методу подобия [8] образовать из них n-k независимых комплексов, где k — число основных размерностей задачи. Для неизотермических случаев температура наряду с тремя основными размерностями длины, массы и времени иногда может выступать в качестве дополнительной размерности, правильное представление которой потребует определенных навыков и опыта. Второй способ, математически эквивалентный первому, заключается в том, чтобы выписать все уравнения, которым подчиняется процесс (если они известны), и перечислить все независимые отношения слагаемых уравнений. Эти отношения будут безразмерны, и для уравнения из m слагаемых может быть образовано m-1 независимых отношений слагаемых.

Перейдем теперь к рассмотрению общего неизотермического и нестационарного случая переноса импульса и энергии в несжимаемой среде (например, в воздухе при малых относительных изменениях давления). Векторные величины будем обозначать жирным шрифтом. Всего имеется шесть неизвестных переменных в каждой точке пространства (например, примыкающего к проему для случая рассмотрения работы воздушных завес): три компоненты скорости u, скаляры давления p, плотности ρ и температуры Т. Их значения определяются граничными и начальными условиями и следующими уравнениями: векторным Навье-Стокса (1), скалярным уравнением Фурье-Кирхгофа (2) и скалярным уравнением непрерывности (3):

Размерный анализ и подобие нестационарного тепломассопереноса в воздухе при умеренной неизотермичности в приложении для условий работы воздушных завес

где u — вектор скорости воздуха, м/с; — оператор Набла; f — внешняя сила, действующая на элемент массы, м2/с, в случае газа переменной плотности — это сила Архимеда g•Δρ/ρ, где g — ускорение свободного падения у поверхности Земли, равное 9,8 м/с2; ρ — плотность воздуха,
кг/м3; Δρ –изменение плотности элементарного рассматриваемого объема, кг/м3; р – давление, Па;
υ — кинематическая вязкость воздуха, м2/с; с — теплоемкость воздуха, Дж/(кг•К); λ — теплопроводность воздуха, Вт/(м•К).

При учете силы Архимеда автоматически учитывается гравитационная часть изменений давления. Заметим, что в правой части уравнения (2) опущен ряд слагаемых: объемные источники теплоты (отсутствуют, так как нет горения или объемного внешнего нагрева), нагрев вследствие диссипации кинетической энергии движущейся среды и адиабатический нагрев вследствие сжатия элементарного объема (вид этого уравнения с учетом диссипации вследствие вязкого трения представлен в V главе учебника «Теоретическая физика. Гидродинамика» [10] Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица). Уравнение (1) получено [11] независимо четырьмя исследователями: Анри Навье (в 1827 году) и Симеоном Пуассоном (в 1831 году) на основе соображений о действии межмолекулярных сил, а также Адемаром Сен-Венаном (1843 год) и Джорджем Стоксом (1845 год) на основе модели вязкой сплошной среды. Уравнения (1), (2) и (3) для элементарного объема среды — это законы сохранения импульса, энергии и массы соответственно. Недостающее уравнение, замыкающее систему для нахождения всех неизвестных — уравнение состояния, которое при постоянном давлении для газа имеет вид: ρ=const/Т, температура здесь измеряется в Кельвинах. В уравнениях (1) — (3) для турбулентного случая под переменными будут подразумеваться их усредненные по времени значения. Заменяя производные по времени и производные по координатам символическим делением на масштаб времени τ и масштаб длины ℓ соответственно, получим характерные силы, действующие на элемент массы в уравнении (1): нестационарность (или локальная сила) u/τ, сила инерции u2/ℓ, сила Архимеда gΔρ/ρ, сила давления p/(ρℓ) и сила вязкости uυ/ℓ2. Из них можно сконструировать бесконечное число отношений или их всевозможных комбинаций, но существуют только четыре независимых безразмерных отношения. Отношение силы инерции к локальной силе τu/ℓ обозначается Ho и называется коэффициентом гомохронности (обратная величина — число Струхаля). Отношение силы инерции к силе вязкости uℓ/υ обозначается Re и называется числом Рейнольдса [12]. Отношение силы Архимеда к силе инерции g(Δρ/ρ)ℓ/u2 исторически обычно употребляется не в указанном виде, а в произведении на Re2 (для исключения из выражения скорости в явном виде) – gℓ32•Δρ/ρ и называется числом Архимеда. Для случаев, когда неоднородность плотности вызывается только неоднородностью температур, критерий Архимеда принято называть критерием Грасгофа: Ar=gℓ32•Δρ/ρ=gℓ32•ΔT/T=Gr. Отношение силы давления к силе инерции
p/(ρu2) обозначается Eu и называется числом Эйлера. В числе Eu достаточно учитывать только переменную часть давления, поскольку в уравнение (1) входят только производные давления по координатам. Итак, уравнение Навье-Стокса позволяет сформировать четыре независимых отношения, изменение которых в любой точке системы приведет к изменению характера течения: Ho, Re, Gr и Eu, причем любые три из них всегда строго определяют четвертое [8]:

Размерный анализ и подобие нестационарного тепломассопереноса в воздухе при умеренной неизотермичности в приложении для условий работы воздушных завес

Перейдем к анализу уравнения (2). Отношение первых двух слагаемых означает гомогенность передачи температуры по времени. Если гомогенность температуры по времени (другое название — число Фурье Fo) рассматривать как определяемый критерий, то он однозначно определяется другим отношением ρсuℓ/λ, которое называется критерием Пекле и обозначается Pe. Величина λ/ρ является удельной теплопроводностью, а λ/(ρс) — удельной температуропроводностью, обычно она обозначается символом «а» и имеет размерность вязкости υ — м2/с. Таким образом, для числа Пекле можно представить равенство:

Размерный анализ и подобие нестационарного тепломассопереноса в воздухе при умеренной неизотермичности в приложении для условий работы воздушных завес

Из выражения (5) следует, число Pe есть число Рейнольдса с точностью до множителя υ/a. Этот множитель безразмерен, поскольку числитель и знаменатель имеют одинаковые размерности. Он обозначается Pr и называется критерием Прандтля. Критерий Прандтля очень удобен для рассмотрения, поскольку является только характеристикой вещества и не зависит от характера или масштабов движения. Он показывает, как при данных температуре и давлении соотносятся конвективные и кондуктивные способности вещества. Число Re не является характерным для уравнения (2), и все же для описания (2) можно использовать не Pe, а Pr, поскольку (2) не способно дать решений кроме как в составе системы уравнений (1), (2), (3), а Re является характерным числом для уравнения (1). Следовательно, теплопередача в системе воздушная завеса-проем при любых возможных геометрических и физических условиях определяется лишь числами Re, Gr, Pr, Ho, Eu. Любой из этих критериев (за исключением характеристики вещества — Pr) может рассматриваться определяемым четырьмя другими. Равенство любых четырех критериев, включая Pr, для модели и системы определяет для них равенство пятого и, соответственно, выполнение подобия. Для стационарных (установившихся) процессов число Hо можно исключать из рассмотрения. Для изотермических процессов нет необходимости учитывать значения Pr и Gr.

Предлагаемые преобразования подобия

Теперь перейдем непосредственно к описанию вида подобия. Обозначим все переменные, которые относятся к модели, нижним индексом «m», а индекс для переменных системы опустим. Все соотношения будут связывать только усредненные величины, поскольку осциллирующие части температуры, давления, плотности и скорости включают в себя случайные функции.

Размерный анализ и подобие нестационарного тепломассопереноса в воздухе при умеренной неизотермичности в приложении для условий работы воздушных завес
Рис. 1

Для гидродинамического подобия, прежде всего, необходимо геометрическое подобие. Вследствие этого все размеры модели и системы должны быть подобны с некоторым коэффициентом k (рис. 1). Итак, для любого геометрического измерения системы:

Размерный анализ и подобие нестационарного тепломассопереноса в воздухе при умеренной неизотермичности в приложении для условий работы воздушных завес

здесь ℓi — всевозможные линейные размеры, а αi — любые угловые величины. Для полей скоростей системы и модели из условия эквивалентности по Re предложим соотношение:

Размерный анализ и подобие нестационарного тепломассопереноса в воздухе при умеренной неизотермичности в приложении для условий работы воздушных завес

Пусть значения температур с теплой и холодной стороны проема равны соответственно Тг и Тх, обозначим «среднюю» температуру проема как Т=(Тг+Тх)/2, а общий перепад на проеме как ΔТ=Тг-Тх. Для соотношения полей температур в области проема из условия эквивалентности по Gr примем следующие условия:

Размерный анализ и подобие нестационарного тепломассопереноса в воздухе при умеренной неизотермичности в приложении для условий работы воздушных завес

Условия (8) устанавливают взаимно однозначное соответствие между наборами температур модели Ттm и Тхm и системы Тт и Тх в каждой из точек модели и системы. Для условий по давлению из эквивалентности по Eu примем:

Размерный анализ и подобие нестационарного тепломассопереноса в воздухе при умеренной неизотермичности в приложении для условий работы воздушных завес

Покажем, что выражения (6) — (9) (рис. 1 и 2) являются условиями частичного гидродинамического подобия для модели и системы (за исключением числа Pr), а именно, что во всех соответствующих точках модели и системы критерии Re, Gr, Eu, совпадают:

Размерный анализ и подобие нестационарного тепломассопереноса в воздухе при умеренной неизотермичности в приложении для условий работы воздушных завес

Размерный анализ и подобие нестационарного тепломассопереноса в воздухе при умеренной неизотермичности в приложении для условий работы воздушных завес

В формуле (9) давление р0 не подразумевает изменений при подобии, а полное давление p=р0+Δр, которое влияет на макроскопические свойства вещества, такие как плотность и тепловые свойства, изменяется незначительно. Для оценки степени неизобаричности для негравитационной части давления или сжимаемости среды представим Δр, как динамическую (ρu2/2) часть давления. Принимая характерные для работы воздушных завес значения u=10 м/c, ρ=1,2 кг/м3, р0=105Па, получим Δр/р0=6•10-4. Если значение полного давления было бы сравнимо с Δр, то приближение несжимаемости р0/ρ>>u2, не выполнялось бы, и вместо числа Эйлера мы получили бы более сложный критерий, связывающий со скоростью не только изменения давления, но и полное давление, а следовательно, свойства среды. А именно, сравнимые значения в (1) второго u2/ℓ и четвертого p/(ρℓ) слагаемых (здесь уже стоит полное давление) привели бы к соотношению
u≈(p/ρ)1/2. Соответственно искомый критерий будет пропорционален величине: u/(p/ρ)1/2. Это число Маха M с точностью до квадратного корня из отношения теплоемкостей при постоянном объеме и постоянном давлении. Два значения теплоемкостей нужно учитывать для случаев сжимаемости, а для рассмотрений воздушных завес представленная выше теплоемкость с это в точности значение ср — теплоемкости при постоянном давлении.

Для воздуха число Прандтля при атмосферном давлении и температурах работы воздушных завес принимает значения в интервале 0,71–0,72 и представляет собой слабую зависимость от температуры. На графике 1 приведено значение Pr в широкой области в зависимости от температуры Т, измеренной в градусах Цельсия.

Размерный анализ и подобие нестационарного тепломассопереноса в воздухе при умеренной неизотермичности в приложении для условий работы воздушных завес
График 1

Совпадение критериев (10) — (12) должны привести к равенству для системы и модели критерия гомохронности. Это несложно проверить. Действительно, из характерного размера ℓ и модуля скорости u можно образовать характерный временной масштаб τ=ℓ/u. Тогда из (6) и (7) следует, что преобразование времени должно иметь вид:

Размерный анализ и подобие нестационарного тепломассопереноса в воздухе при умеренной неизотермичности в приложении для условий работы воздушных завес

а для критерия гомохронности (4) получим следующее тождественное равенство:

Размерный анализ и подобие нестационарного тепломассопереноса в воздухе при умеренной неизотермичности в приложении для условий работы воздушных завес

Итак, соотношения (7), (8), (9) на основе заданного преобразования координат (6) представляют некоторые преобразование подобия для скоростей, температур и давлений, которые могут быть дополнены соотношениями для подобия воздушного потока Q (м3/с) и потока тепловой энергии Wт (кВт). На основе соотношений (S–обозначение площади)

Размерный анализ и подобие нестационарного тепломассопереноса в воздухе при умеренной неизотермичности в приложении для условий работы воздушных завес

получим соответствующие преобразования подобия

Размерный анализ и подобие нестационарного тепломассопереноса в воздухе при умеренной неизотермичности в приложении для условий работы воздушных завес

Они позволят доопределить подобие для случаев использования завес с нагревом и фиксированных величин суммарного воздушного расхода через площадь проема. Для нестационарных переходных процессов необходимо учитывать влияние числа Ho, которое определяет для модели и системы соотношение времен реализации подобных состояний. Отметим, что общее рассмотрение стационарного случая подобия для теплопередачи, но при отсутствии внешних перепадов давления (также при условиях несжимаемости и в пренебрежении диссипацией энергии, как и в настоящей работе) было проведено в § 53 уже упоминавшегося курса «Теоретическая физика. Гидродинамика» [10]. В 2014 году в журнале «Инженерные системы» вышла работа [13] Ю.Н. Марра «Физическое моделирование защиты проемов завесами», в которой методы подобия применяются к теории и практике использования воздушных завес.

Примеры использования преобразований подобия

Как использовать полученные выше преобразования подобия для конкретных задач? Допустим, что имеется либо расчетная сетка некоторого размера для численного решения задач конвективного переноса с граничными условиями соответствующими таковым при использовании воздушных завес, либо экспериментальная установка, сконструированная для изучения защиты проемов с помощью воздушных завес. Покажем, каким образом можно подобрать значения параметров для этой сетки или на экспериментальном проеме, который будем для определенности называть моделью, чтобы они в точности соответствовали условиям, которые бы реализовались на геометрически подобном интересующем проеме. Этот проем, для которого невозможно непосредственно провести испытания или расчеты, будем в каждом случае для определенности считать системой. Все численные значения предлагаемых ниже параметров не являются экспериментальными или расчетными данными, а приводятся лишь для демонстрации возможностей предлагаемого метода. Работа воздушных завес для разделения двух областей с различными температурами сводится к созданию динамического барьера между этим областями. Для определенных условий на проеме определим u0min как минимально необходимую начальную скорость воздушного потока, при которой возникает динамический барьер.

Пример 1. Допустим, имеется экспериментальный проем (модель) высотой Hm=3 м и шириной Lm=3,75 м, который позволяет в некоторых пределах изменять скорость начального воздушного потока u0m, ширину выходного сопла воздушной завесы b0m. Пусть для этого проема имеются некоторые возможности по созданию условий для поддержания температур Тхm и Ттm по разные стороны от проема. Пусть установка оснащена достаточно мощной системой нагрева. Используем возможности этой установки для точного нахождения интересующих величин на геометрически подобном проеме с высотой 2,4 м. Допустим, что необходимо узнать минимальную скорость динамического барьера для этого проема u0min при ширине сопла b0=100 мм, разности давлений с холодной и горячей областей 3 Па и ветровой нагрузке 1 м/с. Пусть температура на «уличной стороне» предполагается равной Тх=–20 °C, в помещении Тт=+22 °C. Геометрическое подобие между моделью и системой приводит в данном случае к коэффициенту подобия k=0,8. Соответственно, все рассуждения подобия будут применимы к проему высотой 2,4 м и шириной 3 метра. Конечно, можно рассматривать другие ширины проемов, например, 2,5 или 3,5 метра. Тогда нужно будет рассчитывать все аддитивные величины, например, такие как расходы или потери мощности через проем с дополнительным коэффициентом, но следует помнить, что нарушение геометрического подобия приведет к неизбежным искажениям их значений. В нашем примере мы будем рассматривать полное геометрическое подобие модели и системы. Пусть по условиям задачи необходимо узнать теплопотери через проем при скоростях воздушного потока завесы 8,5, 10,5 и 7,5 м/с. Зная коэффициент геометрического подобия, рассчитаем все величины, которые должны быть реализованы в модели.

Синим цветом в таблице 1 выделены значения величин, которые должны быть установлены при модельных измерениях. Зеленым обозначаются значения реальных величин, которые дают модельные эксперименты. И, наконец, оранжевым обозначены искомые величины. Таким образом, без проведения экспериментов с интересующим проемом, используя предлагаемые соотношения подобия, можно получить значения искомых величин. Критическая минимально необходимая начальная скорость потока должна составлять 8,25 м/с. Теплопотери проема при начальной скорости потока воздуха завесы 10,5 м/с составят 101,5 кВт.

Таблица 1

Размерный анализ и подобие нестационарного тепломассопереноса в воздухе при умеренной неизотермичности в приложении для условий работы воздушных завес

Пример 2. Покажем, как использовать соотношения подобия по критерию гомохронности для нестационарных (переходных) процессов. Если модель придет в некоторое состояние за N секунд, то система придет в подобное состояние за k2N секунд (13). Допустим, что имеется расчетная сетка для работы в программе, реализующей расчет по некоторой модели турбулентности. Она включает в себя проем высотой 2,5 метра, тамбур некоторого размера, ведущий в большое помещение. Допустим теперь, что эту же расчетную сетку мы хотим использовать для исследования подобной геометрической системы, но с высотой проема 3 метра. Поставим задачу следующим образом. При Тх=–12 °C, Тт=18 °C и некоторых характеристиках используемой воздушной завесы, достаточных для создания динамического барьера, (u1=15 м/с b0=0,1 м) используется мощность нагрева воздушного потока 36 кВт. Допустим, что ветровая нагрузка и внешний перепад давления на проеме отсутствуют. Как при этих условиях найти температуру в некоторой данной точке через 50 секунд после открытия всех дверей в тамбуре? Временем открытия дверей пренебрежем. Для решения этой задачи представим расчетные данные в виде таблицы 2. В этом случае значение коэффициента геометрического подобия составляет величину k=1,2.

Таблица 2

Размерный анализ и подобие нестационарного тепломассопереноса в воздухе при умеренной неизотермичности в приложении для условий работы воздушных завес

В ячейках таблицы 2, выделенных синим, представлены значения параметров, которые необходимо «установить» для расчетной геометрии модели. В геометрически подобной точке температуру надо будет рассчитать для времени t=34,7 с. Пусть по результатам расчета температура Т в этой точке имеет значение 24,6 °C. Тогда разность искомой температуры системы и средней температуры проема (3 °C) составит 12,5 °C (оранжевая ячейка), определяя ответ задачи 15,5 °C.

Пределы применимости преобразований подобия

А. Подобие в окрестности критической скорости создания динамического барьера. Скорость u0min характеризует критический режим течения. Незначительное изменение параметров при скоростях, близких к u0min, может серьезно повлиять на характер течения в окрестностях проема, например, привести к разрушению динамического барьера. Поэтому следует достаточно аккуратно использовать подобие, особенно с учетом его ограниченности по значениям Pr и Re, вблизи точек с u0min, поскольку при точном совпадении скорости с этим значением поведение модели и системы может стать рассогласованным. В примере 1 скорость 6,8 м/с в интересующей нас системе отличается от своего критического значения лишь на 3%. Это может привести к недостоверности полученных данных именно для этого значения скорости. Преобразования подобия не должны использоваться в окрестностях критических значений скоростей. Однако для расчета подобия можно использовать и величины скоростей, недостаточные для создания динамического барьера, например, значения скоростей 6 м/с и 7,5 м/с в примере 1.

В. Переход ламинарность — турбулентность. Другими критическими значениями, при которых всегда происходят значительные изменения характера течения, является окрестность критического числа Рейнольдса — переходная зона от ламинарного течения к турбулентному. Она характеризуется значениями числа Рейнольдса 0,95Reкркр. Для точного выполнения соотношений подобия при турбулентном режиме необходимо также условие Re>>Reкр, Это связано с тем, что в уравнении (1) имеется нелинейное слагаемое (u•) u, которое при усреднении будет содержать два слагаемых — произведения для средних и для осциллирующих частей скорости. Большие Re (в смысле выполнения соотношения Re>>Reкр) позволяют не учитывать сложность усреднения уравнения (1). Оценим характерные значения Re для струй воздушных завес. Примем диапазон значений начальных скоростей воздушного потока u0=5÷20м/с, а начальной ширины потока — 4÷10 см. Тогда (кинематическая вязкость воздуха υ≈1,6•10-5м2/с) для диапазонов значений Re получим:

Размерный анализ и подобие нестационарного тепломассопереноса в воздухе при умеренной неизотермичности в приложении для условий работы воздушных завес

Каковы же критические значения Re для случаев, которые реализуются при использовании воздушных завес? В классической задаче течения жидкости или газа в трубе круглого сечения [11] Reкр=2300. Эта большая величина в настоящее время объясняется наличием упорядочивающих факторов (один из них — практически постоянный градиент давлений по длине трубы), которые определенно отсутствуют в свободной струе. Следовательно, для затопленных струй можно ожидать значительно меньших значений Reкр. В недавнем исследовании [14] (Леманов, В.В., Терехов В.И., Шаров К.А., Шумейко А.А. Экспериментальное исследование затопленных струй при низких числах Рейнольдса. Письма в ЖТФ, 2013, том 39, вып. 9) перечисляются публикации, в которых для свободных струй приводятся значения Reкр=3÷10, и производится обработка опытных данных. Вывод статьи — критические значения числа Рейнольдса все же значительно больше 10, они могут достигать и даже несколько превосходить 100. Это показывает, что числа Рейнольдса для воздушных завес являются очень большими (104÷105>>102), что не накладывает даже минимальных ограничений на применение подобия. Аналогичным образом, для завес не имеют никакого значения возможные нарушения подобия, вызванные исключительной чувствительностью к параметрам при приближении к трансзвуковому диапазону скоростей (М>0,9), так как эти скорости значительно (в 15 раз и более) превышают возможные скорости потоков, создаваемых воздушными завесами.

С. Ограничения подобия по числам Re и Pr и корректировка формул для теплопередачи. Закон преобразования температур (8) подразумевает очень сильную зависимость температуры от коэффициента геометрического подобия. Это приводит к существенному расширению температурных диапазонов при сжатиях (k<1). Учитывая, что для применения подобия необходимо выполнение соотношения ΔT<3/υ2•ΔT/T и этот критерий не может сохраняться при температурных изменениях. Однако, вместо него возможно использование «немодифицированного» числа Архимеда Ar=gℓ/u2•ΔT/T, которое не зависит явно от значения вязкости.

Вызываемые непостоянством значений вязкости изменения при подобии чисел Re и Pr не окажут непосредственного влияния на величину скорости создания динамического барьера, но без сомнения, повлияют на теплопотери через сечение проема. Причины и механизмы этого влияния проще всего объяснить, используя понятие числа Нуссельта Nu — основного числа, используемого для представления мощности турбулентного теплопереноса. Вильгельму Нуссельту принадлежит приоритет в проведении экспериментов и разработке теории подобия для турбулентной теплопередачи [15]. Nu — это некоторый обобщенный коэффициент теплопередачи, который учитывает влияние на нее значений Re и Pr при сохранении других важных переменных задачи. Так для теплопередачи при турбулентном течении по трубе [16] (в пренебрежении изменений температуры трубы) Nu~Re0,8Pr0,68. Решения задач, которые имеют точные аналитические представления, также можно формулировать на языке чисел Нуссельта. Например, теплопередача в ламинарном пограничном слое [16] имеет следующий простой вид: Nu=0,33Re0,5Pr0,33. Следует отметить, что для различных случаев [16] теплопередачи критерий Nu всегда пропорционален величине ReαPrβ. В этом выражении, как правило, 0,25≤β≤α≤1, причем малые показатели степеней характерны для наиболее упорядоченных (в частности, ламинарных) случаев. Учитывая высокую степень неупорядоченности струйного движения даже по сравнению с течением в трубе, можно предположить, что для воздушных завес значения показателя α будет около 1, а β — лежать в диапазоне 0,8÷1. Эти качественные рассуждения полностью согласуются с результатами расчета представленного в работе [5] «Study of air curtains used to restrict infiltration into refrigerated rooms» (авторы: Грегори Вехэге, Арнут Вилкокс, Марникс ван Беллегэм, Мишель де Пэпе), где для числа Нуссельта предложена формула (18), учитывающая, в том числе, возможное нарушение основного критерия геометрического подобия для воздушных завес.

Размерный анализ и подобие нестационарного тепломассопереноса в воздухе при умеренной неизотермичности в приложении для условий работы воздушных завес

Рассмотрим выражение (18), подразумевая, что при модельных или расчетных экспериментах, можно добиться подобия по всем числам, кроме Re и Pr. Расчеты примера 1 строились в пренебрежении зависимостью (18). Можно предложить схему, которая позволит учесть влияние ограниченности подобий по Re и Pr. Поскольку число Нуссельта определяет теплопередачу, то обратная ему величина — теплосопротивление, которое мы обозначим по аналогии с электрическим сопротивлением R. Учитывая преобразование (7), получим Re~1/υ. Тогда для величины теплосопротивления будет справедлива следующая пропорциональность:

Размерный анализ и подобие нестационарного тепломассопереноса в воздухе при умеренной неизотермичности в приложении для условий работы воздушных завес

где υ(T) и Pr(T) — зависимости кинематической вязкости и числа Прандтля для воздуха от температуры. В примере 1 тепловые интервалы в градусах Цельсия для модели и системы, соответственно, составляют: (–9,75; 11,75) и (–20; 22). При распространении тепла через проем можно считать, что оно последовательно преодолевает слои от максимальной до минимальной температуры. На скорость прохождения каждого слоя в числе других факторов будет влиять и его эффективное теплосопротивление (19). Соответственно, для оценки общего влияния непостоянства параметров Re и Pr необходимо усреднить (19) для температурных интервалов как модели, так и системы. Если средняя величина (19) для модели окажется несколько меньше, чем для системы, то следует признать, что общую рассчитанную мощность теплопередачи в примере 1 следует пропорционально уменьшить. Для примера 1 эта поправка будет составлять величину значительно менее 1% и ей можно пренебречь. Для примера 2 поправка приведет к незначительному увеличению теплопотерь, но и это изменение крайне мало. При расширении температурных интервалов и увеличении коэффициентов геометрического подобия нарушения подобия по числам Re и Pr необходимо будет учитывать.

Литература

  1. A. M. Foster, M. J. Swain, R. Barrett, P. D’Agaro, L. P. Ketteringham, S. J. James. Effectiveness and optimum jet velocity for a plane jet air curtain used to restrict cold room infiltration. International Journal of Refrigeration, Vol. 29, 2006, p. 692–699.
  2. Valkeapää, Aki; Sirén, Kai; Raappana, I. Air leakage through horizontal air curtains — An experimental study. VENT 2006, The 8th International conference, Chicago, USA 13–16. May 2006. p. 9. Avainsanat: air curtains, air leakage.
  3. A. M. Foster, M. J. Swain, R. Barrett, P. D’Agaro, L. P. Ketteringham, S. J. James. Three-dimensional effects of an air curtain used to restrict cold room infiltration. Applied Mathematical modeling 31 (6) 1109–1123, 2007.
  4. Musser, Andrew, Rhyner, Daniel, Miller-Gaines, Graham and Hrnjak, Predrag S. «Energy Transfer Based Test Method Development and Evaluation of Horizontal Air Flow Recirculatory Air Curtain Efficiencies’ (2012). International High Performance Buildings Conference. Paper 81.
  5. Gregory Verhaeghe, Arnout Willockx, Marnix Van Belleghem, Michel De Paepe. Study of air curtains used to restrict infiltration into refrigerated rooms. Heat Trasfer. Fluid Mechanics and Thermodynamics. 7th International Conference. 2010. Proceedings. pp 1763–1769.
  6. Hayes F. C., and Stoecker W. F., Heat transfer characteristics of the air curtain, Ashrae Journal, Vol. 11, No. 6, 1969.
  7. Stoecker W. F., and Hayes F. C., Design data for air curtains, Ashrae Journal, Vol. 11, No. 6, 1969.
  8. E. Buckingham. On Physically Similar Systems. Physical Rewiev, 1914. Vol IV. 345–376.
  9. Bertrand, J. (1878). «Sur l’homogénéité dans les formules de physique». Comptes rendus 86 (15): 916–920. (К однородности формул физики.)
  10. Л. Д. Ландау, Е. м. Лифшиц. Теоретическая физика. Гидродинамика. 3-е изд., испр. м. Наука. Гл. ред. физ. — мат. лит., 1986. — 736 с. (т. VI).
  11. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — м.: Наука, 1974. — 712 с.
  12. Reynolds, O. (1883) On the experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous and the law of resistance in parallel channels, Phil. Trans. Roy. Soc., 174, 935, 1883.
  13. Марр Ю. Н. Физическое моделирование защиты проемов завесами. Инженерные системы. АВОК Северо-запад. 1. 2014.
  14. Леманов, В.В., Терехов В. И., Шаров К. А., Шумейко А. А. Экспериментальное исследование затопленных струй при низких числах Рейнольдса. Письма в ЖТФ, 2013, том 39, вып. 9, 12 мая.
  15. Nuβelt W. Die Abhangigkeit der Warmeubergangszahl von der Rohrlange. VDI Zeitschrift 54, № 27, 1910. S. 1154–1158.
  16. Михеев м. А. Михеева И. м. Основы теплопередачи. Изд. 2-е стереотипное, м., Энергия, 1977.


наши проекты
  • АПИК
  • Университет климата
  • Выставка «Мир климата»
  • АПИК-тест